بزرگ‌ترین معماهای حل نشده ریاضی جهان چیستند؟
دستاوردهای جدید اوپن‌ای‌آی اگرچه هیچ‌یک از مسائل «جایزه هزاره» را به‌طور کامل حل نکرده، اما پیشرفت‌های نظری چشمگیری در مسیر رمزگشایی از این معماهای بنیادین رقم زده است.
فرارو- انتشار صدها دستاورد محاسباتی جدید توسط شرکت اوپن‌ای‌آی، بحث‌های پردامنه‌ای را میان برجسته‌ترین ریاضیدانان و فیزیک‌دانان جهان پیرامون مرزهای هوش مصنوعی در درک عمیق‌ترین مفاهیم نظری علوم پایه پدید آورده است.
به گزارش فرارو به نقل از نیویورک تایمز، در شهریور گذشته، شرکت اوپن‌ای‌آی مدعی دستیابی به پاسخی ساختاریافته برای یکی از هفت «مسئله جایزه هزاره» در ریاضیات شد. مسئله‌ای موسوم به معادلات ناویه-استوکس که از دیرباز برای توصیف رفتار و دینامیک سیالاتی همچون آب و هوا به کار می‌رود. این ادعا در کنار ایجاد هیجان فراوان، امواجی از شگفتی، سردرگمی و البته تردید را در جامعه جهانی ریاضیات برانگیخت.
با این حال، زمانی که این شرکت صدها دستاورد پژوهشی تازه خود را به صورت رسمی منتشر کرد، برهان قطعی تازه‌ای برای حل کامل دیگر مسائل هزاره در میان آن‌ها به چشم نمی‌خورد. با وجود این، بررسی دقیق‌تر اسناد منتشر شده نشان می‌دهد پاره‌ای از یافته‌های الگوریتمی این آزمایشگاه هوش مصنوعی، نشان‌دهنده گام‌هایی کلیدی رو به جلو در پنج معمای بازمانده از برجسته‌ترین پرسش‌های تاریخ علوم ریاضی است.
این پرسش‌های به شدت تخصصی چیستند که درک آن‌ها حتی برای بسیاری از متخصصان برجسته نیز چالش‌برانگیز است؟ نگاهی موشکافانه به مفاهیم بنیادین این مسائل روشن می‌سازد که دستاوردهای جدید تا چه اندازه می‌توانند مسیر دستیابی به پاسخ نهایی را هموار کنند یا دست‌کم افق‌های دید پژوهشگران را گسترش دهند.
فرضیه ریمان: راز پنهان در نظم اعداد اول
این مسئله که نخستین بار در مقاله سال ۱۸۵۹ ریاضیدان نامدار آلمانی، برنهارت ریمان، مطرح شد، به سرشت و چگونگی توزیع اعداد اول در امتداد محور بی‌نهایت اعداد می‌پردازد. اعداد اول اعدادی صحیح و بزرگ‌تر از یک هستند که تنها بر خود و یک بخش‌پذیرند؛ مانند ۲، ۳، ۵، ۷، ۱۱ و ۱۳. هرچه در امتداد محور اعداد پیشروی کنیم، فراوانی این اعداد کمتر می‌شود؛ به‌گونه‌ای که تا عدد ۱۰۰ حدود ۲۵ درصد اعداد اول هستند، اما تا عدد یک میلیون این نسبت به حدود ۷.۸ درصد کاهش می‌یابد.
ریمان با ارائه فرضیه‌ای ریاضی، رابطه‌ای دقیق برای شمارش و پیش‌بینی تعداد اعداد اول پیش از هر عدد مفروض پیشنهاد کرد، اما پیش از اثبات نهایی آن، در سن ۳۹ سالگی درگذشت. پیتر سارناک، استاد ریاضیات دانشگاه پرینستون و موسسه مطالعات پیشرفته، فرضیه ریمان را مسئله‌ای باشکوه، ساده در بیان اما غیرقابل حل می‌داند. به عقیده وی، اثبات این گزاره رویدادی تاریخی خواهد بود که دامنه‌های وسیعی از شاخه‌های گوناگون علوم را متحول می‌کند.
جامعه ریاضیدانان عموماً این فرضیه را صادق می‌دانند؛ با این حال، اگر نادرستی آن ثابت شود، پایه‌های بسیاری از تصورات پیشین فرو خواهد ریخت. در فهرست منتشر شده توسط اوپن‌ای‌آی، ردیف سوم به بررسی مسئله‌ای موسوم به «فرضیه شبه‌ریمان» اختصاص دارد. سارناک تأیید می‌کند این بخش با بهره‌گیری از دستیار رایانه‌ای اثبات قضایا (نرم‌افزار لین) اعتبارسنجی شده و احتمالاً از صحت منطقی برخوردار است؛ اما این نتیجه هنوز با اثبات اصل فرضیه فاصله دارد.
الکس کانتوروویچ، مدیر دپارتمان ریاضیات دانشگاه راتگرز، با تمجید از این دستاورد اعلام کرد اگر چنین پاسخی حاصل کار یک پژوهشگر انسان بود، فوراً مدال فیلدز را برای او به همراه می‌آورد. با این وجود، کانتوروویچ معتقد است گره‌گشایی از معمای اصلی ریمان نیازمند ابداع مفاهیم کاملاً بنیادین و متفاوتی خواهد بود.
حدس برچ و سوئینرتون-دایر: مرزهای جدید در نظریه اعداد
حدس برچ و سوئینرتون-دایر در اوایل دهه ۱۹۶۰ توسط برایان جان برچ و سر پیتر سوئینرتون-دایر، ریاضیدانان بریتانیایی، با یاری یکی از نخستین رایانه‌های لامپ خلاء صورتبندی شد. این چالش پایه‌ای در نظریه اعداد، بر شمارش نقاط گویا روی منحنی‌های بیضوی متمرکز است. ساختارهایی جبری که به کمک دسته‌ای خاص از معادلات درجه سه تعریف می‌شوند.
مانجول بارگاوا، برنده مدال فیلدز از دانشگاه پرینستون، اهمیت این مسئله را با نحوه حل معادلات در دوره مدرسه مقایسه می‌کند. یافتن پاسخ‌های گویا برای معادلات درجه دو با هر تعداد متغیر و همچنین حل معادلات درجه سه با یک متغیر از دیرباز ممکن بوده است؛ اما هنگامی که معادلات درجه سه به دو متغیر می‌رسند، دانش کنونی در یافتن الگوریتمی قطعی برای کشف تمام پاسخ‌های گویا ناتوان می‌ماند.
حدس برچ و سوئینرتون-دایر الگوریتمی جامع را برای حل این معادلات دو متغیره پیشنهاد می‌کند که دروازه ورود به حل معادلات جبری در تمام درجات به شمار می‌رود. به بیان بارگاوا، مورد شماره ۲ در فهرست ارائه شده از سوی اوپن‌ای‌آی مستقیماً به این حدس پرداخته و مبانی نیرومندتری برای پژوهشگران فراهم ساخته است. هرچند برای اثبات نهایی و فراگیر کل این نظریه هنوز راهی دراز در پیش است.
حدس هاج: پیوند هندسه فضایی و ساختارهای جبری
ردیف ۳۲ در اسناد این شرکت، مرزهای نظریه حدس هاج را بررسی می‌کند. دیوید مامفورد، استاد بازنشسته دانشگاه براون و برنده مدال فیلدز سال ۱۹۷۴، این دستاورد را حالتی بسیار خاص از صورت اصلی مسئله توصیف کرده است. حدس هاج که در سال ۱۹۵۰ توسط سر ویلیام هاج مطرح شد، حوزه‌ای پیچیده از هندسه جبری را هدف قرار می‌دهد. شاخه‌ای که پل ارتباطی میان معادلات تحلیلی و اشکال هندسی است.
در این شاخه، اشکال یا ساختارها از طریق معادلات جبری در ابعاد گوناگون تعریف می‌شوند که اصطلاحاً به آن‌ها «چندوجهی» می‌گویند. حدس هاج به بررسی «خرده‌ورایتی‌ها» می‌پردازد؛ سازه‌هایی که درون یک ساختار بزرگ‌تر قرار دارند. اگر هندسه نرم یا توپولوژی را به منزله سایه‌ای کشسان از یک فضا در نظر بگیریم و معادلات جبری را اسکلت استخوانی سختی بپنداریم که این سایه را پدید آورده، حدس هاج در پی آن است که دریابد آیا هر سایه دارای تقارن معین، الزاماً از استخوان‌بندی جبری ویژه‌ای منشأ گرفته است یا خیر.
مامفورد خاطرنشان می‌کند اثبات این گزاره نیازمند رویکردهایی بنیادین و بی‌سابقه است. به باور او، احتمال نادرست بودن این حدس کم نیست و چنانچه فرضیه نادرست باشد، کشف یک مثال نقض ساده می‌تواند آن را باطل کند. عرصه‌ای که سامانه‌های یادگیری ماشینی و هوش مصنوعی در آن کارآمدی بالایی دارند.
مسئله P در برابر NP: محدودیت‌های بنیادین پردازش رایانه‌ای
پرسش از برابری یا عدم برابری P و NP بنیادی‌ترین مسئله در علوم کامپیوتر نظری است که دنیای ریاضیات را به زیرساخت‌های فناوری متصل می‌کند. مایکل سیپسر، استاد برجسته مؤسسه فناوری ام‌آی‌تی، مفهوم آن را به سادگی تفکیک می‌کند: دسته P دربرگیرنده مسائلی است که رایانه‌ها می‌توانند در زمانی کوتاه به راه‌حل آن‌ها برسند، در حالی که رده NP شامل مسائلی است که اگر راه حلی برایشان ارائه شود، صحت آن به سرعت قابل بررسی و اعتبارسنجی است. درست مانند بازی سودوکو که بررسی پاسخ آن بسیار آسان‌تر از حل کردن آن از نقطه آغاز است.
جوهر اصلی مسئله این است که آیا این شهود ذهنی واقعاً درست است و مسائلی وجود دارند که وارسی پاسخ آن‌ها ساده اما کشف خود راه‌حل طاقت‌فرسا باشد؟ اثبات این‌که P برابر با NP نیست، مرزهای بنیادین پردازش اطلاعات را ترسیم می‌کند، پدیده‌ای شبیه به محدودیت سرعت نور در قوانین فیزیک. از سوی دیگر، اگر خلاف آن ثابت شود و P با NP برابر باشد، تحولی غیرقابل تصور در الگوریتم‌های بهینه‌سازی، شکستن رمزنگاری‌های امنیتی و اتوماسیون هوشمند ایجاد خواهد شد.
پژوهشگران دهه‌هاست که در پیشبرد این پرونده دچار بن‌بست شده‌اند. ردیف ۱۲۹ گزارش اوپن‌ای‌آی به گزاره‌ای مماس بر این موضوع، یعنی «حدس کوتاهی وضعیت ساکودا-سیپسر» پرداخته است؛ مسئله‌ای که سیپسر در دوران تحصیل تکمیلی خود در دهه ۱۹۷۰ روی آن کار کرده بود و تاکنون حل‌نشده باقی مانده بود. این دستاورد با وجود اهمیت محاسباتی، همچنان از حل اصل معمای P در برابر NP ناتوان است.
نظریه یانگ-میلز و شکاف جرمی: گره‌گاه ریاضیات دقیق و فیزیک کوانتومی
بر اساس دیدگاه ادوارد ویتن، فیزیک‌دان نامدار نظری در موسسه مطالعات پیشرفته و نخستین فیزیک‌دانی که مدال فیلدز را به دست آورد، هیچ بخشی از گزارش اوپن‌ای‌آی به طور مستقیم نظریه یانگ-میلز را هدف قرار نداده است. با این وجود، پژوهشگران این شرکت مسئله‌ای فرعی و هم‌ارز را حل کرده‌اند که در ردیف ۲۱۵ طبقه‌بندی شده است.
مسئله یانگ-میلز در حقیقت جدال نظری میان فیزیک تجربی و ریاضیات محض است. در حالی که نظریه‌های کوانتومی در آزمایشگاه‌ها کارایی درخشانی دارند، پایه‌های ریاضیاتی دقیق آن‌ها هنوز به شکل صوری اثبات نشده‌اند. نظریه کوانتومی یانگ-میلز که در سال ۱۹۵۳ صورتبندی شد، چارچوبی غیرخطی برای تبیین نیروهای هسته‌ای قوی حاکم بر پروتون‌ها و نوترون‌هاست. کشف پدیده «آزادی مجانبی» در سال ۱۹۷۳ نشان داد که اثبات وجود این نظریه در فضا-زمان چهاربعدی تا چه پایه برای درک ذرات زیراتمی حیاتی است.
بخش دوم و دشوارتر معما، «شکاف جرمی» نام دارد؛ به این معنا که چرا ذراتی مانند پروتون و نوترون دارای جرم هستند و مانند فوتون‌ها با سرعت نور در کیهان پراکنده نمی‌شوند. فیزیک‌دانان در محاسبات عددی به وجود این جرم پی برده‌اند، اما اثبات ریاضی دقیق فاصله میان جرم صفر و سبک‌ترین ذره پیش‌بینی‌شده در این نظریه همچنان ناممکن مانده است.
ویتن که پیش‌تر شکاف جرمی را آخرین مسئله قابل حل از میان مسائل هزاره پیش‌بینی کرده بود، پس از بازبینی پنج مقاله منتشر شده ذیل مسئله ۲۱۵ ابراز شگفتی کرد که هوش مصنوعی توانسته است شکاف جرمی را در مدلی هم‌ارز اثبات کند. گرچه او هنوز نسبت به دستیابی به راه حل جامع یانگ-میلز با اتکا به روش‌های فعلی محتاط است، اما اذعان دارد که داده‌های محاسباتی جدید افق‌های تازه‌ای برای بازاندیشی در فیزیک ذرات گشوده‌اند.
